Optimisation et inéquations linéaires

À la fin de cette section, tu dois être capable de:

· Traduire une situation par un système d'inéquations linéaires.

· Représenter graphiquement un système d'inéquations linéaires.

· Traduire en langage algébrique la fonction à optimiser.

· Déterminer, dans un ensemble de possibilités, la ou les meilleures solutions pour une situation donnée.

· Justifier le choix des valeurs qui optimisent une fonction.

Résoudre un problème d'optimisation, c'est rechercher la solution minimale ou maximale d'une fonction en respectant certaines conditions.

ÉTAPES

Les problèmes d'optimisation, qu'on appelle aussi des problèmes de programmation linéaire, peuvent être résolus en suivant une démarche qui compte six étapes:

1.Mathématiser les contraintes.

2.Tracer le polygone des contraintes.

3.Trouver les coordonnées des sommets du polygone des contraintes.

4.Mathématiser la fonction à optimiser.

5.Évaluer la fonction à optimiser.

6.Trouver la ou les valeurs qui optimisent la fonction à optimiser.

EXEMPLES

Exemple 1

Exemple 2

Exercice pratique 1

Exercice pratique 2

Exercice pratique 3
 

1. Mathématiser les contraintes.
 

Il faut commencer par identifier les variables x et y. Ensuite on traduit mathématiquement les conditions du problème qu'on appelle des contraintes. Ces contraintes sont représentées par des inéquations. Dans la plupart des problèmes, on doit tenir compte des contraintes de non-négativité

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2. Tracer le polygone des contraintes.

Il s'agit de résoudre graphiquement chacune des inéquations (contraintes) et de repérer la partie du plan cartésien qui solutionne simultanément toutes les inéquations.

Les contraintes de non-négativité étant presque toujours présentes dans les problèmes, l'ensemble solution du système d'inéquations linéaires se situe à l'intérieur du premier quadrant du plan cartésien.

Pour représenter chaque inéquation, on trouve trois couples, on trace la droite frontière (avec un trait pointillé) et ensuite on vérifie de quel côté de cette droite se situe la région solution.

Des droites frontières tracées avec un trait continu indiquent que les points sur cette droite sont des solutions du système d'inéquations. Au contraire, des droites frontières tracées avec un trait pointillé indiquent que les points sur cette droite ne sont pas des solutions du système d'inéquations.

RETOUR ÉTAPE

3. Trouver les coordonnées des sommets du polygone des contraintes.

Tous les points situés à l'intérieur du polygone des contraintes ou sur les droites frontières tracées avec un trait continu constituent des solutions possibles du système d'inéquations linéaires.

Cependant dans les problèmes d'optimisation, on s'intéresse surtout aux points situés aux sommets du polygone puisque ce sont ces points qui engendrent une valeur minimale ou maximale de la fonction à optimiser.

Pour trouver les coordonnées des sommets, on peut utiliser le graphique si les points sont faciles à déterminer. Dans quelques cas, il est préférable d'utiliser une méthode algébrique comme la méthode de réduction puisque les sommets sont toujours situés à l'intersection de deux droites frontières.

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4. Mathématiser la fonction à optimiser.

Il s'agit d'écrire une équation qui permet de calculer les valeurs pour répondre à la question du problème. Habituellement on définit cette fonction par une lettre significative (P pour Profit, D pour Dépense, R pour Revenu, Z...) et elle prend la forme suivante: P = ax + by + c (a, b et c sont des nombres réels).

Cette étape se fait habituellement en même temps que la première étape, c'est-à-dire lors de la lecture du problème.

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5. Évaluer la fonction à optimiser.

À cette étape, il s'agit d'évaluer la valeur de la fonction à optimiser pour chacun des sommets trouvés à la 3e étape. Cette étape est plutôt technique, puisqu'il faut simplement effectuer un calcul à l'aide d'un tableau .

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6. Trouver la ou les valeurs qui optimisent la fonction à optimiser.

Il faut ici trouver la valeur minimale ou maximale de la fonction à optimiser selon le contexte du problème. On donne habituellement la réponse dans une courte phrase. S'il n'y a pas eu d'erreurs dans la solution du problème, la solution trouvée respecte automatiquement les conditions du problème.

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EXEMPLE 1

Comment traduire en système d'inéquations différentes contraintes dans un texte donné.

Texte

On a besoin d'au moins 60 litres de peinture pour peindre les corridors d'un édifice. Pour effectuer  ce travail, on utilise de la peinture blanche et de la peinture bleue. Selon le contremaître, on doit utiliser au plus 2 fois plus de peinture bleue que de peinture blanche. On évalue la surface à peindre à au plus 240 m² . Selon le fournisseur de peinture, un litre de peinture blanche couvre 2 m²   et coûte 10 $, tandis qu'un litre de peinture bleue  couvre 3 m² et coûte  12 $ . Combien de litres de chaque couleur le contremaître  doit-il  utiliser pour minimiser ses dépenses ?

Identification des variables.

x représente le nb de litres de peinture blanche.

y représente le nb de litres de peinture bleue.

Contraintes:        représente la non-négativité du nb de litres de peinture blanche .

                            représente la non-négativité du nb de litres de peinture bleue .

                          représente la contrainte ( au plus 2 fois plus de peinture bleue que de peinture blanche) .

                           représente la surface à peindre à au plus 240 m² .

                          représente : on a besoin d'au moins 60 litres de peinture .

Les sommets sont: A(30,60), B(120,0), C(60,0), D(20,40).

Fonction à optimiser     

 Z    : Représente le prix total de la peinture à 10$ /L pour la blanche et 12 $/L pour la bleue.

Tableau    pour évaluer la fonction à optimiser 

Le tableau nous donne comme résultat minimal : 60 litres de peinture blanche et 0 litre de peinture bleue pour 600 $

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EXEMPLE 2

Texte

Cric et Crac fabriquent des patins à roues alignées. Leur quota de production les oblige à ne pas fabriquer plus de 24 paires de patins Ros  et pas plus de 30 paires de patins Bos par semaine.

Une paire de patins Ros   se vend 80 $ , alors qu'une paire de patins Bos  se vend 100 $ . Si le triple  du nombre de paires  de patins Ros  ajouté au quadruple  du nombre  de paires de patins Bos ne peut excéder 144 , combien de paires de chaque sorte Cric et Crac doivent-ils fabriquer par semaine pour obtenir un revenu maximal  ?

Identification des variables:  x représente le nombre de paires de patins Ros .

                                               y représente le nombre de paires de patins Bos .

Contraintes :    contrainte de non-négativité .

                           contrainte de non-négativité .

                          représente la contrainte ( pas plus de 24 paires de patins Ros ) .

                   représente la contrainte ( pas plus de 30 paires de patins Bos ) .

                  représente  la contrainte ( nb Ros ajouté au quadruple de nb Bos ne peut excéder 144). 

Traçons le graphique

Les sommets sont : (0,0) , (0,30), (8,30), (24,0) , (24,18).

Fonction à optimiser :       

Tableau pour évaluer la fonction à optimiser

Le tableau nous donne comme résultat : 24 paires de patins Ros et 18 paires de patins Bos pour obtenir un revenu maximal .

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EXERCICE PRATIQUE 1

Roger est propriétaire d'une érablière. Chaque printemps, il produit du sirop qu'il vend à ses amis. Il verse ce sirop dans des contenants de deux formats: 1 litre et 3 litres.

Cette année, il en a produit au moins 60 litres.

Au cours des années antérieures, il a observé que le premier format est au moins trois fois plus en demande que le second. Cependant, il ne veut pas dépasser les 60 contenants. Il vend son sirop 8 $ le contenant de 1 litre et 20 $ le contenant de 3 litres. Il recherche le nombre de contenants de chaque format  qui vont lui permettre de réaliser un profit maximal.

Solution: sur une feuille 

1° Identification des variables :

     x: ________________________

      y: ________________________

2°  Systèmes d'inéquations traduisant les contraintes du texte:

    _____________________________

    _____________________________       

    _____________________________

    _____________________________

    _____________________________

GRAPHIQUE:

    3°    Sommets du polygone : _______________________________

    4°    Formule  du Profit Maximal : _______________________

    5°     Compléter le tableau :

    6°  Le nombre de contenants de chaque sorte pour un profit maximal : _____________________________________

SOLUTION:

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EXERCICE PRATIQUE (2)

Roger organise un "lavothon" afin de faire des fonds pour le voyage à Québec. Dix élèves  sont prêts à travailler un maximum de  7 heures chacun. Pour un lavage partiel ( lavage extérieur ) d'une voiture, il faut compter 35 minutes et pour un lavage complet ( lavage intérieur et extérieur ) , il faut 70 minutes. On demande 3 $ pour un lavage extérieur et 5 $ pour un lavage complet. On prévoit que le nombre de lavages complets ne sera pas supérieur au nombre de lavages partiels. On espère au moins 60 clients et les prévisions optimistes sont de 90 clients. 

Combien de lavages de chaque sorte devra-t-on faire pour maximiser les profits si les dépenses de la journée s'élèvent à 35$ ?

Solution: sur une feuille

1° Identification des variables :

     x: ________________________

      y: ________________________

2°  Systèmes d'inéquations traduisant les contraintes du texte:

___________        ____________                

    __________________________       

    _________________________

    _________________________

    _________________________

    _________________________

Graphique :

    3°    Sommets du polygone : _______________________________

    4°    Formule  du Profit Maximal : _______________________

     5°     Compléter le tableau :

    6°    Quel est le nombre de chaque sorte ? ________________________________________

SOLUTION

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EXERCICE PRATIQUE (3)

Le père de Stéphanie possède un terrain boisé. A la fin de l'automne , il dispose de 12 jours pour couper le bois. Il possède deux sortes d'essences : du pin et du hêtre .

Son quota indique qu'il ne peut , chaque année, couper plus de 24 cordes de pin et 30 cordes de hêtre. Il peut couper 4 cordes par jour lorsqu'il coupe du bouleau et 3 cordes lorsqu'il coupe du hêtre. Il s'intéresse au revenu à réaliser. La corde  de bouleau lui rapporte 25 $ et la corde de hêtre lui rapporte 45 $. Combien de cordes de chaque sorte va lui générer le meilleur revenu. ?

Solution: sur une feuille 

1° Identification des variables :

     x: ________________________

      y: ________________________

2°  Systèmes d'inéquations traduisant les contraintes du texte:

    ________________                            

    _________________

    ________________

    ________________

    _________________

3° Les sommets:

    ________________

Graphique :

4°    Formule du revenu maximal:

__________________________

5°    Compléter le tableau :

    6°    Quel est le nombre de  chaque sorte pour un revenu maximal ? ___________________________

SOLUTION

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© 2002. Roger Fontaine , tous droits réservés.

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